Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E 是AB 上的一点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂直为F．圆O经过点C ，D ，F，且与AD相交于点G．

(1)求证，△AFG∽△DFC；

(2)若AB=3，BC=5，AE=1，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；

（2）首先证明CG是直径且△EDA∽△ADF，结合△AFG∽△DFC，利用相似三角形的性质求出AG，得到DG，再利用勾股定理求出CG即可解决问题．

（1）证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．

∵∠ADC=90°,

∴CD为⊙O的直径，
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴，即，
∵△AFG∽△DFC，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，DA=BC=5，DC=AB=3
∴

∴DG=AD-AG=5-=,

在Rt△CDG中，

∵CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为．