Question

18．如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC内一点，且DA=1，DC=2，DB=3．求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 把△ADC顺时针旋转90°得到△BEC，连接DE，如图，利用旋转的性质得CD=CE=2，∠DCE=90°，BE=AD=1，∠ADC=∠CEB，则可判断R△CDE为等腰直角三角形，所以∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理的逆定理可证明△BDE为直角三角形，∠BED=90°则∠CEB=135°，所以∠ADC=135°．

解答 解：把△ADC顺时针旋转90°得到△BEC，连接DE，如图，
由旋转可知，CD=CE=2，∠DCE=90°，BE=AD=1，∠ADC=∠CEB，
∴R△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=2$\sqrt{2}$，
在△DEB中，∵BE=1，DE=2$\sqrt{2}$，DB=3，
∴BE²+DE²=DB²，
∴△BDE为直角三角形，∠BED=90°
∴∠CEB=45°+90°=135°，
∴∠ADC=135°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的判定与性质．