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【题目】如图,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

(1)求证:PC是O的切线;
(2)求证:BC= AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.

【答案】
(1)

证明:∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO.

又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

又∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°.

即OC⊥CP,

∵OC是⊙O的半径.

∴PC是⊙O的切线.


(2)

证明:∵AC=PC,

∴∠A=∠P,

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,

∴∠COB=∠CBO,

∴BC=OC.

∴BC= AB.


(3)

解:连接MA,MB,

∵点M是 的中点,

=

∴∠ACM=∠BCM.

∵∠ACM=∠ABM,

∴∠BCM=∠ABM.

∵∠BMN=∠BMC,

∴△MBN∽△MCB.

∴BM2=MNMC.

又∵AB是⊙O的直径, =

∴∠AMB=90°,AM=BM.

∵AB=4,

∴BM=2

∴MNMC=BM2=8.


【解析】(1)由半径OA=OC,可得等边对等角∠A=∠ACO,则∠COB=2∠A,已知∠COB=2∠PCB,∠A=∠ACO=∠PCB.由直径所对的圆周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°.从而转换得到∠PCB+∠OCB=90°即可证得;(2)“等角对等边”与“等边对等角”相互运用可证OC=BC;(3)连接MA,MB,先证明△MBN∽△MCB.则 ,即BM2=MNMC.由AB是⊙O的直径, = ,AB=4,解出BM,从而可解得MNMC.
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识,掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

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