Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）已知点P是抛物线的上的一个动点，点N在x轴上．

①若点P在x轴上方，且△APN是等腰直角三角形，求点N的坐标；

②若点P在x轴下方，且△ANP与△BOC相似，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）①y=﹣x2+x+2；②所求点N的坐标为N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）．

【解析】

试题分析：（1）把A、C两点的坐标代入函数解析式，即可得到关于b，c的方程组，从而求得b，c的值，求得函数的解析式；

（2）①首先由点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，得出点A不可能是直角顶点，那么当△APN是等腰直角三角形时，∠PAN=45°．作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P，设点P坐标是（t，﹣t2+t+2）．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN1⊥x轴于点N1，则PN1=AN1，依此列出方程﹣t2+t+2=t+1，解方程求出N1的坐标；Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则AP=PN2，那么N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3，则ON2=2+3=5，N2的坐标可求；

②先由抛物线解析式求出B点坐标，根据△BOC是直角三角形，得出△ANP也是直角三角形，由A点不可能是直角顶点，得出直角顶点可能是P点或N点．设点P坐标是（t，﹣t2+t+2），则﹣t2+t+2＜0．再分两种情况进行讨论：Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．过P作PN1⊥x轴于点N1，则△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．由△AN1P∽△BOC，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N1的坐标；过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则△APN2∽△BOC．由△AN1P∽△PN1N2，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N2的坐标；Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN3⊥x轴于点N3，则△AN3P∽△COB，N3（t，0）．由△AN3P∽△COB，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N3的坐标；过点P作PN4⊥AP，PN4交x轴于点N4，则△APN4∽△COB．由△AN3P∽△PN3N4，根据相似三角形对应边成比例求出t的值，得出点N4的坐标．

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（0，2），

∴，解得，

∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+2；

（2）①∵点P、A、B都在抛物线上，且A、B在x轴上，

∴点A不可能是直角顶点，则∠PAN=45°．

如图，作∠BAP=45°，AP交抛物线于点P．设点P坐标是（t，﹣t2+t+2）．

Ⅰ）当点N是直角顶点时，过点P作PN1⊥x轴于点N1，则PN1=AN1，

即﹣t2+t+2=t+1，

解得t1=2，t2=﹣1（不合题意舍去），

所以N1的坐标是（2，0）；

Ⅱ）当点P是直角顶点时，过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则AP=PN2，

即N1N2=AN1=2﹣（﹣1）=3，

则ON2=2+3=5，

所以N2的坐标是（5，0）；

综上所述，点N的坐标是（2，0）或（5，0）；

②∵y=﹣x2+x+2，

∴当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x=﹣1或4，

∵A（﹣1，0），

∴B（4，0），

∴△BOC中，OB=4，OC=2，∠BOC=90°．

∵△BOC是直角三角形，

∴当△ANP与△BOC相似时，△ANP也是直角三角形，

∵A点不可能是直角顶点，

∴直角顶点可能是P点或N点．

设点P坐标是（t，﹣t2+t+2），则﹣t2+t+2＜0．

Ⅰ）过A作BC的平行线，交抛物线于点P，则∠PAB=∠OBC．

过P作PN1⊥x轴于点N1，则△AN1P∽△BOC，N1（t，0）．

∵△AN1P∽△BOC，

∴=，

∴===2，

∴AN1=2N1P，即t+1=2（t2﹣t﹣2），

解得t1=5，t2=﹣1（不合题意舍去），

所以点P的坐标是（5，﹣3），点N1的坐标是（5，0）；

过点P作PN2⊥AP，PN2交x轴于点N2，则△APN2∽△BOC．

∵△AN1P∽△PN1N2，

∴=，

∴N1N2==1.5，

∴ON2=ON1+N1N2=5+1.5=6.5，

∴点N2的坐标是（6.5，0）；

Ⅱ）在x轴下方作∠BAP=∠OCB，交抛物线于点P，过P作PN3⊥x轴于点N3，则△AN3P∽△COB，N3（t，0）．

∵△AN3P∽△COB，

∴=，

∴===，

∴PN3=2AN3，即t2﹣t﹣2=2（t+1），

解得t1=8，t2=﹣1（不合题意舍去），

所以点P的坐标是（8，﹣18），点N3的坐标是（8，0）；

过点P作PN4⊥AP，PN4交x轴于点N4，则△APN4∽△COB．

∵△AN3P∽△PN3N4，

∴=，

∴N3N4==36，

∴ON4=ON3+N3N4=8+36=44，

∴点N4的坐标是（44，0）；

综上所述，所求点N的坐标为N1（5，0），N2（6.5，0），N3（8，0），N4（44，0）．