Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交⊙O于点D，交BC于点E,点F在DA的延长线上，且∠ABF＝∠C ．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，cos∠ABF=，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）根据AD⊥AB，可得DB是⊙O的直径，进而得到根据圆周角定理，可得∠ABF=∠C=∠D，最后根据∠D+∠ABD=90°，可得OB⊥BF，即BF是⊙O的切线；

（2）根据AC=AB，可得∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，进而在△ABD中，求得BD=5，根据勾股定理可得AB==3，最后在△ABG中，根据∠AGB=90°，AD=4，求得BG=AB×cos∠2=，即可得到BC的长．

试题解析：（1）证明：如图，连接BD

∵AD⊥AB，

∴DB是⊙O的直径，

∴∠D+∠ABD=90°，

又∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，

∴∠ABD+∠ABF=90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）如图，连接OA，交BC于点G，

∵AC=AB，

∴弧AC=弧AB

∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，

∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=，

在△ABD中，∠DAB=90°，

∴BD==5，

∴AB==3，

在△ABG中，∠AGB=90°，AD=4，

∴BG=AB×cos∠2=，

∴BC=2BG=．