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【题目】如图,在直角坐标系中,点AB分别在x轴和y轴上,OBA是等腰直角三角形且AB=,线段PQ=1,线段PQ的端点P从点O出发,沿OBA的边按OBAO运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动.

1)求AB两点的坐标;

2)若P运动的路程为mOPA的面积为S,求Sm之间的函数关系式;

3)当点P运动一周时,点Q运动的总路程为______

【答案】1A点的坐标为:(-10),B点的坐标为:(01);(2Sm之间的函数关系式为S=m0m≤1),或S=+-m1m+1);(32

【解析】

1)由OBA是等腰直角三角形且AB=,得出OA=OB=1,即可得出AB两点的坐标;(2)分三种情况讨论:①当点POB边上时,由三角形面积公式即可得出结果;②当点PAB边上时,作PDOADAPD是等腰直角三角形,则PB=m-1,求出AP的长,由等腰直角三角形的性质得出PD的长,由三角形面积公式即可得出结果;③当点PAO边上时,OPA不存在;(3)根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形,分四种情况进行计算:①点PO→B时,路程是线段PQ的长;②当点PB→C时(QCABC为垂足),点QO运动到Q,计算OQ的长就是运动的路程;③点PC→A时,点QO向左运动,路程为QO;④点PA→O时,点Q运动的路程就是点P运动的路程;最后相加即可.

1)∵△OBA是等腰直角三角形且AB=

OA=OB=1

A点的坐标为:(-10),B点的坐标为:(01);

2)分三种情况讨论:

①当点POB边上,即0m≤1时,如图1所示:

OPA的面积S=OA×OP=×1×m=m

②当点PAB边上,即1m+1时,如图2所示:

PDOADAPD是等腰直角三角形,

PB=m-1

AP=AB-PB=-m-1=+1-m

PD=AP=+1-m=1+-m

∴△OPA的面积=OA×PD=×1×1+-m= +-m,即S=+-m

③当点PAO边上,即+1≤m≤+2时,OPA不存在;

综上所述,Sm之间的函数关系式为S=m0m≤1),或S=+-m1m+1);

3)∵△OBA是等腰直角三角形,

∴∠ABO=BAO=45°

OA=OB=1PQ=1

①当点PO→B时,点Q运动的路程为PQ的长,即为1

②如图3所示,QCAB,则∠ACQ=90°,即PQ运动到与AB垂直时,垂足为P

当点PB→C时,

∵∠ABO=BAO=45°

∴∠OQC=90°-45°=45°

AQ=PQ=

OQ=AQ-OA=-1

则点Q运动的路程为QO=-1

③当点PC→A时,点Q运动的路程为QO=-1

④当点PA→O时,点Q运动的路程为AO=1

∴点Q运动的总路程为:1+-1+-1+1=2

故答案为:2

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表一:

出口

B

C

人均购买饮料数量(瓶)

3

2

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