【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD.
(1)如图(1),求证:AD∥BC;
(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;
(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)连接AC.由弦相等得到弧相等,进一步得到圆周角相等,即可得出结论.
(2)延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形,从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B.即可证明ΔABE≌ΔCND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.
(3)连接BG,过点A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四边形ABED是平行四边形,得到AB=DE.再证明ΔCDE是等边三角形,ΔBGE是等边三角形,通过解三角形ABE,得到AB,HB, AH,HE的长,由EC=DE=AB,得到HC的长.在Rt△AHC中,由勾股定理求出AC的长.
作直径AP,连接CP,通过解△APC即可得出结论.
试题解析:解:(1)连接AC.∵AB=CD,∴弧AB=弧CD,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC.
(2)延长AD到N,使DN=AD,连接NC.∵AD∥BC,DG∥AB,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,∴DN=BE.∵ABCD是圆内接四边形,∴∠NDC=∠B.∵AB=CD,∴ΔABE≌ΔCND,∴AE=CN.∵DN=AD,AF=FC,∴DF=CN,∴AE=2DF.
(3)连接BG,过点A作AH⊥BC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四边形ABED是平行四边形,∴AB=DE.
∵DF∥CN,∴∠ADF=∠ANC,∴∠AEB=∠ADF,∴tan∠AEB= tan∠ADF=,DG平分∠ADC,∴∠ADG=∠CDG.∵AD∥BC,∴∠ADG=∠CED,∠NDC=∠DCE.∵∠ABC=∠NDC,∴∠ABC=∠DCE.∵AB∥DG,∴∠ABC=∠DEC,∴∠DEC=∠ECD=∠EDC,∴ΔCDE是等边三角形,∴AB=DE=CE.∵∠GBC=∠GDC=60°,∠G=∠DCB=60°,∴ΔBGE是等边三角形,BE= GE=.∵tan∠AEB= tan∠ADF=,设HE=x,则AH= .∵∠ABE=∠DEC=60°,∴∠BAH=30°,∴BH=4x,AB=8x,∴4x+x=,解得:x=,∴AB=8,HB=4, AH=12,EC=DE=AB=,∴HC=HE+EC==.在Rt△AHC中,AC==.
作直径AP,连接CP,∴∠ACP=90°,∠P=∠ABC=60°,∴sin∠P=,∴,∴⊙O的半径是.
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【题目】如图,在边长为acm的正方形内,截去两个以正方形的边长acm为直径的半圆.(以下结果保π)
(1)图中阴影部分的周长为______cm,
(2)图中阴影部分的面积为________cm2;
(3)当a=2时,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,AB=4,动点P从A出发,在直线AB上以每秒3个单位的速度向右运动,到达B后立即返回,回到A后停止运动,动点Q与P同时从A出发,在直线AB上以每秒1个单位的速度向左运动,当P停止运动时,点Q也停止运动,设点P的运动时间为t秒.
(1)若t=1,则BP的长是 PQ的长是 .
(2)当点P回到点A时,求BQ的长.
(3)在直线AB上取点C,使B是线段PC的中点,在点P的整个运动过程中,是否存在AC=AQ+3,若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】从A,B两题中任选一题作答:
A.如图,在ΔABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交与点M,N,作直线MN交AB于点E,交BC于点F,连接AF。若AF=6,FC=4,连接点E和AC的中点G,则EG的长为__.
B.如图,在ΔABC中,AB=2,∠BAC=60°,点D是边BC的中点,点E在边AC上运动,当DE平分ΔABC的周长时,DE的长为__.
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【题目】如图,点D是△ABC内一点,点E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点。
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°,求四边形EFGH的周长。
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【题目】如图是某种产品30天的销售图象,图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系,图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系.则下列结论中错误的是( )
A. 第24天销售量为300件B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第27天的日销售利润是1250元D. 第15天与第30天的日销售量相等
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(2,n),过点B作BC⊥x轴于点C,点P(3n﹣4,1)是该反比例函数图象上的一点,且∠PBC=∠ABC,求反比例函数和一次函数的表达式.
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【题目】浏阳河风光带位于湖南省长沙市芙蓉区浏阳河西岸,是人们休闲的好去处.如图,是一幅简易的风光带地图,点为一游客休息处.我们可把风光带看作一条弯曲的数轴,点作为原点,点、、是风光带上顺次三点,从点往点的方向记作正方向,点、之间的路程记为,点、之间的路程记为,开始时点表示的数为,点表示的数为(单位:米).
(1)若,求的值;
(2)在(1)的条件下,有甲、乙、丙游客三位分别从点、、的初始位置同时出发开始沿风光带运动,其中甲以每分钟米的速度向负方向运动,乙、丙分别以每分钟米和米的速度沿风光带向正方向运动.求运动多少分钟后,乙、丙之间的路程与甲、乙之间的路程相等.
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【题目】一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD如图1所示,AB=10cm,小明用这张纸带将底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴(要求包贴时没有重叠部分). 小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析.
(1)若纸带在侧面缠绕三圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为____ cm;
(2)若AD=100cm,纸带在侧面缠绕多圈,正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是_____cm.
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