Question

【题目】如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）

（1）填空：当t为　 　s时，△ABF是直角三角形；

（2）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，四边形AFCE是否是特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）四边形AFCE是平行四边形，证明见解析；

【解析】

（1）△ABF中，由△ABC是等边三角形可知∠B=60°≠90°，所以∠BAF与∠AFB可以等于90°，需分类讨论．画出图形，利用特殊三角函数值求出BF的长，除以点F速度即求得t的值．
（2）由AG∥BC可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，再加上点D为AC中点易证△ADE≌△CDF，进而得DE=DF，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形AFCE为平行四边形．再求此时AE、CF的长，说明∠AFC不等于90°和AF≠AE，排除四边形AFCE是菱形或矩形．

解：（1）∵等边△ABC中，BC＝8cm

∴∠ABC＝60°≠90°，AB＝BC＝8cm

①如图1，若∠AFB＝90°，则∠BAF＝30°

∴BF＝AB＝4cm

∴t＝BF÷2＝2（s）

②如图2，若∠BAF＝90°，则∠AFB＝30°

∴BF＝2AB＝16cm

∴t＝BF÷2＝8（s）

故答案为：2或8．

（2）四边形AFCE是平行四边形，证明如下：

如图3，过点A作AH⊥BC于点H

∵∠ABC＝60°，AB＝8cm

∴sin∠ABC＝，cos∠ABC＝

∴AH＝AB＝4cm，BH＝AB＝4cm

∵AG∥BC

∴∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD

∵点D是AC中点

∴AD＝CD

在△ADE与△CDF中

∴△ADE≌△CDF（AAS）

∴DE＝DF

∴四边形AFCE是平行四边形

∴AE＝CF

∵AE＝t，CF＝BC﹣BF＝8﹣2t

∴t＝8﹣2t

解得：t＝

∴AE＝cm，BF＝cm

∴BF＞BH，AF＞AH，∠AFC＞90°

∴AF≠AE

∴四边形AFCE不是菱形或矩形，四边形AFCE是平行四边形．