Question

【题目】（问题）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n矩形表示矩形的邻边是2和n）

（探究）不妨假设有an种不同的镶嵌方案．为探究an的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a1＝1．

探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a2＝2．

探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；

二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；

如图（3）．所以，a3＝1+2＝3．

探究四：用4个2×1矩形，镶嵌一个2×4矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有　 　种镶嵌方案；

二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有　 　种镶嵌方案；

所以，a4＝　 　．

探究五：用5个2×1矩形，镶嵌一个2×5矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）

……

（结论）用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？

（直接写出an与an﹣1，an﹣2的关系式，不写解答过程）．

（应用）用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有　 　种不同的镶嵌方案．

Answer 1

【答案】（1）2，3，5；（2）an＝an﹣1+an﹣2；（3）89.

【解析】

探究四：画图进行说明：a4=2+3=5；

探究五：同理在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形和探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌个1个2×1矩形，相加可得结论；

结论：根据探究四和五可得规律：an=an-1+an-2；

应用：利用结论依次化简，将右下小标志变为5和4，并将探究四和五的值代入可得结论．

解：探究四：

如图4所示：

一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有2种镶嵌方案；

二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有3种镶嵌方案；

所以，a4＝2+3＝5．

故答案为2，3，5；

探究五：

一类：在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有3种镶嵌方案；

二类：在探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有5种镶嵌方案；

所以，a5＝3+5＝8．

……

结论：an＝an﹣1+an﹣2；

应用：a10＝a9+a8＝a7+a8+a8＝2a8+a7＝2（a7+a6）+a7＝3a7+2a6＝3（a6+a5）+2a6＝5a6+3a5＝5（a5+a4）+3a5＝8a5+5a4＝8×8+5×5＝89．

故答案为89．