Question

1．如图．△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，求cos∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理由AB为直径得到AD⊥BC，而AB=AC，根据等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质有OD∥AC，由于DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根据切线的判定定理可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据弦切角定理得到∠EDF=$\frac{1}{2}$∠DOE，求得cos∠DOE=cos2∠EDF=1-2sin²∠EDF，根据已知条件得到sin∠EDF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得到结论．

解答 解：（1）连结OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠EDF=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∴cos∠DOE=cos2∠EDF=1-2sin²∠EDF
，∵tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠EDF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠DOE=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠DEF=sin∠DOE=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．