Question

7．在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，D为垂足，G为BC的中点，求证：∠DGC=∠B．

Answer 1

分析 延长CD交AB上一点F，根据三角形的判定和性质得出△ADC≌△ADF，DC=FD，再根据三角形中位线的性质得出DG∥AB，进而可证明∠DGC=∠B．

解答 证明：延长CD交AB上一点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°
在△ADC和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ADC=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴CD=DF，
∵G是BC的中点
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG∥BF，
∵BF在AB上，
∴DG∥AB，
∴∠DGC=∠B．

点评 此题考查了三角形中位线定理和三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，证出DG∥BF．