【题目】(1)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延长CD到点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证:EF=FG.
(2)如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)证△ADG≌△ABE,△FAE≌△GAF,根据全等三角形的性质求出即可.
(2)过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.通过证明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°,所以△MAN≌△EAN(SAS),故全等三角形的对应边MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.
试题解析:解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADG,AD=AB.
在△ABE和△ADG中,∵,
∴△ABE≌△ADG(SAS).∴∠BAE=∠DAG,AE="AG." ∴∠EAG=90°.
在△FAE和△GAF中,∵,
∴△FAE≌△GAF(SAS),∴EF=FG.
(2)如答图,过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM,连接AE、EN.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中,∵,
∴△ABM≌△ACE(SAS).∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.
∴由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中,∵,∴△MAN≌△EAN(SAS).∴MN=EN.
在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.∴MN2=BM2+NC2.
∵BM=1,CN=3,∴MN2=12+32. ∴MN=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线 分别交x轴、y轴于A、B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设P是直线AB上一动点(点P与点A不重合),⊙P始终和x轴相切,和直线AB相交于C、D两点(点C的横坐标小于点D的横坐标).若P点的横坐标为m,试用含有m的代数式表示点C的横坐标;
(3)在(2)的条件下,若点C在线段AB上,当△BOC为等腰三角形时求m的值.
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【题目】某学校为了解学生的课外阅读情况,随机抽取了50名学生,并统计他们平均每天的课外阅读时间/(单位:min),然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表.
根据图表中提供的信息,回答下列问题:
(1)a=_____,b=_____;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若该校共1 000名学生,估计有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min?
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【题目】计算下列各题:
(1)(﹣1)2018﹣2(π﹣1)0+(﹣)﹣2
(2)(2a﹣4)(a+5)﹣2(a﹣10)
(3)(2x+3y)(﹣2x+3y)﹣(x﹣3y)2
(4)(4x3y﹣6x2y2+12xy3)÷2xy
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【题目】小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书,小光直接去图书馆, 小凡途中从路边超市买了一些学习用品,如图反应了他们俩人离开学校的路程s(千米)与时间t(分钟)的关系,请根据图象提供的信息回答问题:
(1) 是描述小凡的运动过程(填或);
(2)小凡和小光先出发的是 ,先出发了 分钟;
(3)小凡与小光先到达图书馆的是 ,先到了 分钟;
(4)求小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少?(不包括中间停留的时间)
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【题目】△ABC中,点O是AC上一动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠DCA的平分线于点F,连接AE、AF.
(1)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并说明理由;
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【题目】如图,双曲线y= 经过点A(1,2),过点A作y轴的垂线,垂足为B,交双曲线y=﹣ 于点C,直线y=m(m≠0)分别交双曲线y=﹣ 、y= 于点P、Q.
(1)求k的值;
(2)若△OAP为直角三角形,求点P的坐标;
(3)△OCQ的面积记为S△OCQ , △OAP的面积记为S△OAP,试比较S△OCQ与S△OAP的大小(直接写出结论).
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AC=6,BD=8.动点E从点B出发,沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止.点F是点E关于BD的对称点,EF交BD于点P,若BP=x,△OEF的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形,那么我们称这个三角形为“活三角形”,这条直线称为该“活三角形”的“生命线”.
(1)小明在研究“活三角形”问题时(如图),他发现,在△ABC中,若∠BAC = 3∠C时,这个△ABC一定是“活三角形”.点D在BC边上一点,联结AD,他猜测:当∠DAC = ∠C时,AD就是这个三角形的“生命线”,请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由.
(2)如小明研究结果可以总结为:有一个内角是另一个内角的3倍时,该三角形是一个“活三角形”.
请通过自己操作研究,并根据上诉结论,总结“活三角形”的其他特征.
(注意从三角形边、角特征及相互间关系总结)
,该三角形是一个“活三角形”.
,该三角形是一个“活三角形”.
(3)如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为: 度.(直接写出结果即可)
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