Question

如图，AB为⊙O的切线，切点为点B，切线BA与直径CD的延长线相交于点A，CD=4，∠A=30°，则图中阴影部分的面积为

 

．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：连接OB，如图，先根据切线的性质得∠ABO=90°，由CD=4得OB=2，再在Rt△OBA中，根据互余得∠AOB=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得AB=

3

OB=2

3

，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S_△ABO-S_扇形DOB进行计算．

解答：解：连接OB，如图，
∵AB为⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∵CD=4，
∴OB=2，
在Rt△OBA中，∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，AB=

3

OB=2

3

，
∴图中阴影部分的面积=S_△ABO-S_扇形DOB
=

1

2

•2•2

3

-

60•π•22

360

=2

3

-

2

3

π．
故答案为2

3

-

2

3

π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．