Question

如图，大半圆O与小半圆O₁相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，则阴影部分的面积是（　　）

• A、πcm²
• B、2πcm²
• C、3πcm²
• D、4πcm²

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：作OE⊥AB于E，连接O₁F，OB，如图，根据切线的性质得O₁F⊥AB，再判断四边形OO₁FE为矩形，得到OE=O₁F，然后根据垂径定理得到BE=

1

2

AB=2，在Rt△OBE中，利用勾股定理得OB²-OE²=BE²=4，再利用阴影部分的面积=

1

2

S_⊙0-

1

2

S_⊙O1计算即可．

解答：解：作OE⊥AB于E，连接O₁F，OB，如图，
∵大半圆的弦AB与小半圆相切于F，
∴O₁F⊥AB，
而OE⊥AB，AB∥CD，
∴四边形OO₁FE为矩形，
∴OE=O₁F，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE=

1

2

AB=2，
在Rt△OBE中，OB²-OE²=BE²=4，
∵阴影部分的面积=

1

2

S_⊙0-

1

2

S_⊙O1=

1

2

（π•OB²-π•O₁F²）=

1

2

π（OB²-OE²）=2π（cm²）．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了两圆相切的性质、勾股定理和垂径定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．