Question

在△ABC中，∠ACB=90°，以AB、BC为边向△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE，连接DF，过点C作CG⊥AB，垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点I．
（1）求证：CI=

1

2

AB=

1

2

DF；
（2）当∠ACB≠90°时，以上结论成立吗？若不成立，关系又怎样？
（3）若∠ACB是钝角，且分别向△ABC的形内作正方形ACDE及BCFH．问：此时线段CI与AB间的数量关系如何？
①CI是否平分DF？
②线段CI与

1

2

AB是否相等？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）易证△DCF≌△ACB，可得∠CDF=∠CAB，∠CFD=∠CBA，DF=AB，即可证明∠ICD=∠IDC，可得CI=IF，即可解题；
（2）CI=

1

2

AB，CI≠

1

2

DF；理由：过D作DM∥CF交GC延长线于点M，易证∠CAG=∠DCM和∠MDC=∠ACB，即可证明△ACB≌△CDM，可得DM=BC，AB=CM，即可证明△DMI≌△FCI，可得CI=MI，即可解题；
（3）过F作MP∥CD，交AC于点M，交CI延长线于点P，易证∠CAB=∠CPF和∠ACB=∠PFC，即可证明△ACB≌△PFC，可得PF=AC，AB=PC，即可证明四边形CDPF为平行四边形，即可解题．

解答：证明：（1）∵△DCF和△ACB中，

AC=CD ∠DCF=∠ACB CF=CB

，
∴△DCF≌△ACB，（SAS）
∴∠CDF=∠CAB，∠CFD=∠CBA，DF=AB，
∵CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠BCG=∠CAG，
∴∠ICD=∠IDC，
∴DI=CI，∠ICF=∠IFC，
∴CI=IF，
∴I是DF中点，
∴CI=

1

2

AB=

1

2

DF；
（2）CI=

1

2

AB，CI≠

1

2

DF；
理由：过D作DM∥CF交GC延长线于点M，如图1，

∵∠CAG+∠ACG=90°．∠ACG+∠DCM=90°，
∴∠CAG=∠DCM，
∵∠MDC+∠DCF=180°，∠ACB+∠DCF=180°，
∴∠MDC=∠ACB，
∵在△ACB和△CDM中，

∠CAG=∠DCM AC=CD ∠ACB=∠MDC

，
∴△ACB≌△CDM，（ASA）
∴DM=BC，AB=CM，
∴DM=CF，
∵DM∥CF，
∴∠M=∠ICF，∠MDI=∠IFC，
∵在△DMI和△FCI中，

∠M=∠ICF DM=CF ∠MDI=∠IFC

，
∴△DMI≌△FCI，（ASA）
∴CI=MI，
∴CI=

1

2

AB；
（3）过F作MP∥CD，交AC于点M，交CI延长线于点P，如图2，

∵PM∥CD，CD⊥AC，
∴PM⊥AC，
∴∠CPF+∠PCA=90°，
∵∠CAB+∠ACP=90°，
∴∠CAB=∠CPF，
∵∠CFM+∠MCF=90°，∠CFM+∠PFH=90°，
∴∠PFH=∠MCF，
∵∠BCF=∠CFH=90°，
∴∠ACB=∠PFC，
∵在△ACB和△PFC中，

∠CAB=∠CPF ∠ACB=∠PFC CF=CB

，
∴△ACB≌△PFC，（AAS）
∴PF=AC，AB=PC，
∵AC=CD，
∴PF=CD，
∴四边形CDPF为平行四边形，
∴CI平分DF，CI=

1

2

PC，
∴CI=

1

2

AB．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问构建全等三角形并求证是解题的关键．