Question

【题目】如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：

（1）BC的长；

（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作出△ABC的外接圆，并求外接圆半径．

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据三角函数的定义和特殊角的三角函数即可得出答案；
（2）作AB、AC的垂直平分线，交点O即为圆心，以OA为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆，根据sin∠ABC=sin∠AOK即可解决问题．

（1）过点A作AE⊥BC于点E，

∵cosC=，

∴∠C=45°，

在Rt△ACE中，CE=ACcosC=1，

∴AE=CE=1，

在Rt△ABE中，tanB=，即=，

∴BE=3AE=3，

∴BC=BE+CE=4；

（2）如图，①作线段AB的垂直平分线NM．

②作线段AC的垂直平分线GH与直线MN的交点O就是△ABC外接圆的圆心．

③以点O为圆心OA为半径作圆．

⊙O就是所求作的△ABC的外接圆．

∵∠AOC=2∠ABC，∠AOK=∠COK，

∴∠ABC=∠AOK，

∵sin∠AOK=sin∠ABC==，

由（1）可知AB==，

∴=，

∴AO=．