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【题目】已知,如图,延长的各边,使得,顺次连接,得到为等边三角形.

求证:(1

2为等边三角形.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

1)关键是证出CE=AF,可由AE=ABAC=BF,两两相加可得.再结合已知条件可证出AEF≌△CDE

2)有(1)中的全等关系,可得出∠AFE=CED,再结合DEF是等边三角形,可知∠DEF=60°,从而得出∠BAC=60°,同理可得∠ACB=60°,那么∠ABC=60°.因而ABC是等边三角形.

证明:(1)∵BF=ACAB=AE(已知)
FA=EC(等量加等量和相等).
∵△DEF是等边三角形(已知),
EF=DE(等边三角形的性质).
又∵AE=CD(已知),
∴△AEF≌△CDESSS).
2)由AEF≌△CDE,得∠FEA=EDC(对应角相等),
∵∠BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF(等量代换),
DEF是等边三角形(已知),
∴∠DEF=60°(等边三角形的性质),
∴∠BCA=60°(等量代换),
AEF≌△CDE,得∠EFA=DEC
∵∠DEC+FEC=60°
∴∠EFA+FEC=60°
又∠BACAEF的外角,
∴∠BAC=EFA+FEC=60°
∴△ABC中,AB=BC(等角对等边).
∴△ABC是等边三角形(等边三角形的判定).

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