Question

已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于D，连DM．
（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；
（2）如图，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长BD交AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=DE，AB=AE，再求出CE，然后判断出DM是△BCE的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答；
（2）延长BD交CA的延长线于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=DE，AB=AE，再求出CE，然后判断出DM是△BCE的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．

解答：解：（1）如图，延长BD交AC于E，
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD=DE，AB=AE=12，
∴CE=AC-AE=18-12=6，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD=

1

2

CE=

1

2

×6=3；

（2）延长BD交CA的延长线于E，
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD=DE，AB=AE=12，
∴CE=AC+AE=18+12=30，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD=

1

2

CE=

1

2

×30=15．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与性质并作辅助线构造出以MD为中位线的三角形是解题的关键．