Question

6．（1）如图，矩形ABCD中，E是AD中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）保持（1）中条件不变，若DC=2DF，求$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；
（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到$\frac{AD}{AB}$的值；
（3）方法同（2）．

解答 解：（1）同意，连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，
EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}EG=ED\\ EF=EF\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{2x}$=$\sqrt{2}$；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x$\sqrt{n}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{nx}$=$\frac{2\sqrt{n}}{n}$．

点评 此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．