【题目】如图,以BC为直径的⊙O交的边AB于E,点D在⊙O上,且DE∥BC,连BD并延长交CA于F,∠CBF=∠A.
(1)求证:CA是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BD=2BE,则DE长为 (直接写答案).
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接CE,构造直角,通过平行的性持,圆周角定理等进行角的代换,证明∠A+∠BCA=90°可得出结论;
(2)先证明△BED与△BFA相似,得出BF与BA的比值为 ,再证明△BCF和△ACB相似,且相似比为,再次利用△BED与△BFA相似即可求出结果.
(1)证明:连接CE,
∵DE∥BC,
∴∠BDE=∠CBF,
∵∠CBF=∠A,∠BDE=∠BCE,
∴∠BCE=∠A,
∵BC为⊙O的直径,
∴∠CEB=90°,
∴∠CBA+∠BCE=90°,
∴∠CBA+∠A=90°,
∴∠BCA=90°
∴OC⊥CA,
又∵OC为半径,
∴CA是⊙O的切线.
(2)连接CD,
由(1)知∠BDE=∠A,
∵∠DBE=∠DBE,
∴△BDE∽△BAE,
∴,
由(1)知∠CBF=∠A,
∵∠BCF=∠BCF,
∴△BCF∽△ACB,
∴,
∵BC=4,
∴CF=2,AC=8,AF=AC﹣CF=6,
∵BF==2,
∴AB=4,
∵∠BDC=∠BCF=90°,∠CBF=∠CBF,
∴△BCD∽△BFC,
∴,
∴,
∴BD=,
∵△BDE∽△BAE,
∴,
∴,
∴DE=.
故答案为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=ax-2x+c(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A,B,C三点,已知点(-2,0),C(0,-8),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EB直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】如图,在边长均为1的正方形网格纸上有和,顶点A、B,C,D、E、F均在格点上,如果是由绕着某点O旋转得到的,点的对应点是点D,点C的对应点是点请按要求完成以下操作或运算:
在图上找到点O的位置不写作法,但要标出字母,并写出点O的坐标;
求点B绕着点O顺时针旋转到点E所经过的路径长.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于点H,分别交AC、CD于点G、P,连结GE、GF.
(1)试判断四边形BEGF的形状并说明理由.
(2)求的值.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1)化简函数解析式,当x≥-1时,y= ,当x<-1时y= ;
(2)根据(1)中的结果,请在所给坐标系中画出函数的图象;
(3)结合函数图象,写出该函数的一条性质: .
(4)结合画出的函数图象,解决问题:若关于x的方程只有一个实数根,直接写出实数a的取值范围: .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】九年级(1)班和(2)班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔。
(1)若从报名的4名学生中随机选1名,则所选的这名学生是女生的概率是多少.
(2)若从报名的4名学生中随机选2名,用树状图或表格列出所有可能的情况,并求出这2名学生来自同一个班级的概率.
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