Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时,判断四边形AEMC的形状，并给出证明；

（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切 ，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0， ）过A、B、C三点的抛物线解析式为；

（2）四边形AEMC是菱形，证明见解析；

（3）存在点P满足条件，点P坐标为（2， ）或（6，-7）

【解析】（1）解：（1）B（3，0），C（0， ）．

∵A（—1，0）B（3，0），∴可设过A、B、C三点的抛物线为．

又∵C（0， ）在抛物线上，∴，解得．

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为．

（2）四边形AEMC是菱形．

当△OCE∽△OBC时，则错误！未找到引用源。．

∵OC=错误！未找到引用源。，∴

错误！未找到引用源。∴OE=1．

∴E（1，0）在抛物线对称轴上，∴△CAE为等边三角形，∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=∠AEC=60°．

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称．

C（0，错误！未找到引用源。），∴M（2，错误！未找到引用源。）．

∴MC=AE=2， MC∥AE

∴四边形AEMC是平行四边形。

∵AC=CM=2

∴四边形AEMC是菱形．

（3）由⊙P与直线AC和x轴同时相切易知点P在两线夹角的平分线上，

①当在x轴上方时，∠PAO=30°，设点P坐标为（x, ）,过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ,得x+1= ()

解得，x1=2 ,x2=-1(舍去)，所以点P坐标为（2， ）

②当在x轴下方时，∠PAO=60°，设点P坐标为（x, ）,过P作PQ⊥x轴，交点为Q，则AQ=PQ,得（x+1）= -()

解得，x1=6 ,x2=-1(舍去)，所以点P坐标为（6，-7）

综上所述，存在点P满足条件，点P坐标为（2， ）或（6，-7）