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【题目】(问题背景)

如图1,在四边形ABCD中,ABAD,∠BAD120°,∠B=∠ADC90°,点EF分别是边BCCD上的点,且∠EAF60°,试探究图中线段BEEFFD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使GDBE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是   

(探索延伸)

如图2,若在四边形ABCD中,ABAD,∠B+∠D180°,点EF分别是边BCCD上的点,且∠EAFBAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.

(学以致用)

如图3,在四边形ABCD中,ADBCBCAD),∠B90°,ABBC6E是边AB上一点,当∠DCE45°,BE2时,则DE的长为   

【答案】【问题背景】:EFBE+FD;【探索延伸】:结论EFBE+DF仍然成立,见解析;【学以致用】:5.

【解析】

[问题背景]延长FD到点G.使DGBE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AEAG,再证明△AEF≌△AGF,可得EFFG,即可解题;

[探索延伸]延长FD到点G.使DGBE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AEAG,再证明△AEF≌△AGF,可得EFFG,即可解题;

[学以致用]过点CCGADAD的延长线于点G,利用勾股定理求得DE的长.

[问题背景】解:如图1

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AEAG,∠BAE=∠DAG

∵∠EAFBAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF

∴∠EAF=∠GAF

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EFFG

FGDG+DFBE+FD

EFBE+FD

故答案为:EFBE+FD

[探索延伸]解:结论EFBE+DF仍然成立;

理由:如图2,延长FD到点G.使DGBE.连结AG

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AEAG,∠BAE=∠DAG

∵∠EAFBAD

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF

∴∠EAF=∠GAF

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EFFG

FGDG+DFBE+FD

EFBE+FD

[学以致用]如图3,过点CCGAD,交AD的延长线于点G

由【探索延伸】和题设知:DEDG+BE

DGx,则AD6xDEx+3

RtADE中,由勾股定理得:AD2+AE2DE2

∴(6x2+32=(x+32

解得x2

DE2+35

故答案是:5

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