Question

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并且延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，试探究线段OG与AB的数量关系并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,等边三角形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形；
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=2AB-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理表示出线段OG与AB的数量关系即可．

解答：（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=

1

2

OB，OD=BD=

1

2

OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴AO=AB÷tan30°=

3

AB，BO=2AB，
设OG=x，由折叠可得：AG=GC=2AB-x，
在Rt△ABO中，
在Rt△OAG中，OG²+OA²=AG²，
x²+（

3

AB）²=（2AB-x）²，
解得：x=

1

4

AB，
即OG=

1

4

AB．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理．