Question

【题目】如图，已知中，，，是边的中点，将绕点旋转得到，平分交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填写序号）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根据旋转性质、平行线性质证得EC=EA=BC，推出∠DCB=120°，再由角平分线的性质推出∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，推出EA=EB=EC,然后根据中位线定理得出=60°，即可判断结论①正确；由平行线分线段成比例定理得出OB=3OF，S△COB=3S△COF，进而得出结论②正确；由∠ACB=90°，设BC=a, 则AB=2a，AC=a，

OA=OC=a，根据勾股定理得出OD，进而求得结论③正确；根据以上线段的关系用含a的代数式表示：OD=，OF=，FB=，即可求得，即结论④错误．

解：根据旋转性质可知，OD=OB，OA=OC，∠ACD=∠CAB，

∴CD//AB

∵CD//AB，∠ABC=60°,

∴∠DCB+∠ABC=180°,
∴∠DCB=120°,
∵EC平分∠DCB,
∴∠ECB=∠DCB=60°,
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°,△ECB是等边三角形,
∴EB=BC,
∵AB=2BC,
∴EA=EB=EC,
∵OA=OC，

∴OE∥BC

∴∠AEO=∠ABC=60°

∴∠CEO=60°

∴

故结论①正确；
∵OE∥BC，AE=EB

∴2OE=BC

∴2OF=BF

∴OB=3OF∴S△COB=3S△COF

∵S△COB=S△AOD

∴OB=3OF

故结论②正确；

∵AE=EC，∠CEB=60°

∴∠ACE=∠A=30°，

∴∠ACB=90°

设BC=a，则AB=2a，AC=a，

∴OA=OC=a

OD=OB=

∴

故结论③正确；

∵OD=，OF=，FB=

∴

OF·OD=

∴

故结论④不成立

故答案为：①②③