Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，己知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．

（1）直接写出抛物线和直线的解析式；

（2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，

①当的面积最大时，点的坐标是________；

②当平分时，求线段的长．

（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②；（3）存在，或或或．

【解析】

（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）①先找出当的面积最大时，点的位置为与直线平行且与抛物线相切的点，设直线解析式为，即有唯一解，求出的值，再解方程求出x、y，即为P点的坐标；②过作轴于点，由先求出，根据平分线定义得，设点坐标为，依题意有，求出t的值，进而求得PA的长；

（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．

解：（1）将点、的坐标代入直线表达式得：，解得：，

故直线的表达式为：，

将点、的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：；

（2）①当的面积最大时，点到直线的距离就最大，

所以点在与直线平行并且与抛物线相切的直线上，即点是这两个图像的唯一交点．

设点坐标为，依题意有：

∴

∵直线与抛物线相切，即只有一个交点

∴ ∴

∴

∴ ∴

由此得点坐标为

②过作轴于点，

由直线的解析式，可得

∴

∵ ∴

∴当平分时，，则

∴是等腰直角三角形

∴

设点坐标为，依题意有

∴，（舍去）

∴

∴

（3），

①当是平行四边形的一条边时，

设点坐标为、则点，

由题意得：，即：，

解得：或0或4（舍去0），

则：或或-5

则点坐标为或或；

②当是平行四边形的对角线时，

则的中点坐标为

设点坐标为、则点，

、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，

即：，，

解得：或4（舍去0），d=﹣4,-d-1=3

故点；

故点M的坐标为：或或或．