Question

如图，矩形ABDC中，AB∥x轴，AC∥y轴，反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象过点B，C，直线BC交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）若点A的坐标为（1，2），求矩形ABCD的面积；
（2）在（1）的条件下，判断线段BE与CF的大小关系，并说明理由；
（3）若点A的坐标为（m，n），请直接写出当m，n满足什么关系时，线段CF，CB，BE相等．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由矩形ABDC中，AB∥x轴，AC∥y轴，点A的坐标为（1，2），则可得点B的纵坐标为2，点C的横坐标为1，又由反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象过点B，C，即可求得B与C的坐标，继而求得答案；
（2）首先设直线BC的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得其解析式，继而求得E，F的坐标，则可证得BE=CF；
（3）首先延长DC交y轴于点M，延长DB交轴于点N，易证得△FMC∽△CAB∽△BNE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）∵矩形ABDC中，AB∥x轴，AC∥y轴，点A的坐标为（1，2），
∴点B的纵坐标为2，点C的横坐标为1，
∵反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象过点B，C，
∴B（3，2），C（1，6），
∴AB=3-1=2，AC=6-2=4，
∴S_矩形ABCD=AB•AC=8；

（2）BE=CF．
理由：设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B，C的坐标代入得：

3k+b=2 k+b=6

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+8，
∴点E（4，0），点F（0，8），
∴BE=

(4-3)2+(0-2)2

=

5

，CF=

(1-0)2+(6-8)2

=

5

，
∴BE=CF；

（3）延长DC交y轴于点M，延长DB交轴于点N，
∵矩形ABDC中，AB∥x轴，AC∥y轴，点A的坐标为（m，n），
∴点B的纵坐标为n，点C的横坐标为m，
∵反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象过点B，C，
∴B（

6

n

，n），C（m，

6

m

），
∴CM=m，AB=

6

n

-m，AC=

6

m

-n，BN=n，
∵矩形ABDC中，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴∠FMC=∠A=∠BNE=90°，∠FCM=∠CBA=∠BEN，
∴△FMC∽△CAB∽△BNE，
∴

CM

AB

=

FC

BC

，

BN

AC

=

BE

BC

，
∴若CF=CB=BE，
则CM=AB，BN=AC，
∴m=

6

n

-m，

6

m

-n=n，
∴2mn=6，
即mn=3．
∴当m，n满足mn=3时，线段CF，CB，BE相等．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．