Question

【题目】如图所示，在中，，，为边上的中点，于点，交的延长线于点.

(1)求证：；

(2)求证：垂直平分.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【解析】

（1）根据ASA判定△ACD≌△CBF即可；

（2）由（1）得到BF=CD，由D为BC中点，根据中点定义得到CD=BD，等量代换得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．

解：（1）∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF；

（2）连接DF，

由（1）得CD=BF
∵为边上的中点

∴CD=BD=BC

∴BF=BD
∴△BFD为等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴根据等腰三角形三线合一的性质有BA⊥FD，BA平分边FD，
即AB垂直平分DF．