【题目】如图,为的直径,于点,是上一点,且,延长至点,连接,使,延长与交于点,连结,.
(1)连结,求证:;
(2)求证:是的切线;
(3)若,,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由BE=DE可知∠CDB=∠FBD,而∠BFD=∠DCB,BD是公共边,结论显然成立.
(2)连接OC,只需证明OC⊥PC即可.根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB,由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB,注意到AB⊥CD,于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP,结论得证.
(3)由于∠BCD=∠F,于是tan∠BCD=tanF=,设BG=2x,则CG=3x.注意到AB是直径,连接AC,则∠ACB是直角,由相似三角形可知CG2=BGAG,可得出AG的表达式(用x表示),再根据AG-BG=求出x的值,从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出,最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值.
(1)证明:因为,
所以,
在和中:
所以.
(2)证明:连接.
因为,
,
所以,
因为,
所以,
所以,
因为于,
所以,
所以,
即,
所以,
所以是圆的切线.
(3)因为直径弦于,
所以,,
所以,
因为,,
所以,
设,则.
连接,则,
因为,,
所以
所以,
所以,
因为,
所以,
解得,
所以,,
所以,
所以,
因为,
所以,
所以,
因为,
所以.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=2,把它放在x轴的正半轴上,AD与x轴重合且点A坐标为(3,0).
(1)若以点A为旋转中心,将矩形ABCD逆时针旋转,使点B落到y轴上的点B1处,得到矩形AB1C1D1,如图2,求点B1,C1,D1的坐标.
(2)若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2,如图3,再将它以A2为旋转中心逆时针旋转,使点B2落到y轴上的点B3处.此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3,求平移的距离并写出C3的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与y轴交于点.
(1)求c的值;
(2)当时,求抛物线顶点的坐标;
(3)已知点,若抛物线与线段有两个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
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【题目】某旅行团32人在景区A游玩,他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人,成人比少年多12人.
(1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
(2)因时间充裕,该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格为100元/张,成人全票,少年8折,儿童6折,一名成人可以免费携带一名儿童.
①若由成人8人和少年5人带队,则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票,在不超额的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案,并指出哪种方案购票费用最少.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.动点P在线段AC上以5 cm/s的速度从点A运动到点C.过点P作PD⊥AB于点D,以PD为一边向右作矩形PDEF,并且使DE=AD.设点P的运动时间为t s,矩形PDEF和△ABC重叠部分图形周长为y cm.
(1)当点F落在边BC上时,求t的值;
(2)求y与t之间的函数关系式;
(3)当矩形PDEF的面积被线段BC平分时,t=______.
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【题目】如图,在中,,是角平分线,交于,的外接圆与边相交于点,过作的垂线交于,交于,交于,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的半径;
(3)在(2)的条件下,求的长.
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【题目】定义:在平行四边形中,若有一条对角线是一边的两倍,则称这个平行四边形为两倍四边形,其中这条对角线叫做两倍对角线,这条边叫做两倍边.
如图1,四边形是平行四边形, ,延长交于点,连结交于点,, .
(1)若,如图2.
①当时,试说明四边形是两倍四边形;
②是否存在值,使得四边形是两倍四边形,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;
(2)如图1,四边形与四边形都是两倍四边形,其中与为两倍对角线,与为两倍边,求的值.
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【题目】问题提出:
(1)如图①,半圆O的直径AB=10,点P是半圆O上的一个动点,则△PAB的面积最大值是 .
问题探究:
(2)如图②,在边长为10的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E、F分别是AD和CD边上的点,请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.
问题解决:
(3)如图③,四边形ABCD中,AB=AD=6,∠BAD=60°,∠BCD=120°,四边形ABCD的周长是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线与轴的公共点是,,直线经过点,直线与抛物线另一个交点的横坐标是4,它们的图象如图所示,有以下结论:
①拋物线对称轴是;
②;
③时,;
④若,则.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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