Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，把它放在x轴的正半轴上，AD与x轴重合且点A坐标为(3，0)．

（1）若以点A为旋转中心，将矩形ABCD逆时针旋转，使点B落到y轴上的点B1处，得到矩形AB1C1D1，如图2，求点B1，C1，D1的坐标．

（2）若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2，如图3，再将它以A2为旋转中心逆时针旋转，使点B2落到y轴上的点B3处．此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3，求平移的距离并写出C3的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B1(0，4)，，D1(4.6，1.2)；（2）平移的距离：，C3(，)．

【解析】

（1）先求出B1的坐标为(0，4)，过D1作D1E⊥x轴于E，利用Rt△AOB1∽Rt△D1EA求出ED1＝1.2，EA＝1.6，进而得出D1的坐标；过点C1作C1F⊥y轴于F，利用Rt△B1C1F∽Rt△AB1O，得出∠C1B1F＝∠B1AO，利用三角函数求出，的值，进而得出的坐标；

（2）连接B2C3，过点B3作B3G⊥A2C3于G，在Rt△A2B3C3中利用勾股定理求出A2C3的值，利用等面积法求出的值，从而得出C3的坐标．

解：（1）∵A(3，0)，∴OA＝3，

∵AB＝5，∴由旋转的性质可知AB1＝AB＝5，

在Rt△AOB1中，由勾股定理可得：

OB1＝4，

∴B1的坐标为(0，4)，

如下图，过D1作D1E⊥x轴于E，

∵四边形AB1C1D1是矩形，

∴∠B1AD1＝90°，∴∠OAB1＋∠EAD1＝90°，

又∵∠OAB1＋∠OB1A＝90°，

∴∠EAD1＝∠OB1A，

又∵∠AOB1＝∠AED1＝90°，

∴Rt△AOB1∽Rt△D1EA，

∴，

由旋转性质可知，AD1＝AD＝2，

∴，

∴ED1＝1.2，EA＝1.6，

∴OE＝OA＋AE＝3＋1.6＝4.6，

∴D1(4.6，1.2)，

过点C1作C1F⊥y轴于F，

同理可得，∴Rt△B1C1F∽Rt△AB1O，

∴∠C1B1F＝∠B1AO，

∵

∴，而，

∴，解得，

∴则解得

∴

∴．

（2）连接B2C3，过点B3作B3G⊥A2C3于G，

在Rt△A2B3C3中，A2B3＝AB＝5，B3C3＝BC＝2，

∴A2C3＝，

又∵，

∴，

即∴，

∴

因此向左平移的距离为：，

∵OA2＝，A2C3＝

∴点C3的坐标为(，)．