【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于轴对称,点P是
轴上的一个动点,设点P的坐标为(
,0),过点P做
轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)点P在线段AB运动过程中,是否存在点Q,使得△BOD∽△QBM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知点F(0,),当点P在
轴上运动时,试求
为何值时,以D,M,Q,F为顶点的四边形是平行四边形?
【答案】(1);(2)存在,
;(3)-1或3或
或
【解析】
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)由题意结合图象知△DOB∽△MBQ,△MBQ∽△QPB即△BOD∽△QPB,则有 ,由点的坐标可得
,解之即可得此时m值;
(3)先利用待定系数法求出直线BD的解析式,进而得到点Q、M的坐标,再由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程,解之即可.
(1)由抛物线过点A(﹣1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点C(0,2)代入,得:﹣4a=2,解得:a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣
;
(2)存在 ,理由为:
∵∠MBQ=90∴∠MBP+∠PBQ=90
∵∠MPB=∠BPQ=90,
∴∠MBQ+∠BMP=90,
∴∠PBQ=∠BMP,
∴△MBQ∽△QPB,
∵△DOB∽△MBQ,
∴△BOD∽△QPB,
∴,即
,
解得:m1=3、m2=4,
当m=4时,点P、Q、M均与点B重合,不能构成三角形,舍去,
∴m=3,点Q的坐标为(3,2);
(3)由题意知点D坐标为(0,﹣2),设直线BD解析式为y=kx+b,
将B(4,0)、D(0,﹣2)代入,得:,解得:
,
∴直线BD解析式为y=x﹣2,∵QM⊥x轴,P(m,0),
∴Q(m,)、M(m,
m﹣
则QM=|﹣(
m﹣2)|=|﹣
m2+m+4|,
∵F(0,)、D(0,﹣2),∴DF=
,∵QM∥DF,
∴当|﹣m2+m+4|=
时,四边形DMQF是平行四边形,解得:m=﹣1或m=3或
即m=﹣1或m=3或时,四边形DMQF是平行四边形;
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【题目】已知OA是⊙O的半径,OA=1,点P是OA上一动点,过P作弦BC⊥OA,连接AB、AC.
(1)如图1,若P为OA中点,则AC=______,∠ACB=_______°;
(2)如图2,若移动点P,使AB、CO的延长线交于点D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.△AOD的面积为S3,且满足,求
的值.
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【题目】2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发,疫情就是命令,防控就是使命.全国各地驰援武汉的医护工作者,践行医者仁心的使命与担当,舍小家,为大家,用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城.下面是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图(不完整).
请解答下列问题:
(1)①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为 人;
②请将条形统计图补充完整;
(2)请求出扇形统计图中“山东”所对应扇形的圆心角的度数;
(3)本次山东驰援武汉的医护工作者中,有5人报名去重症区,王医生和李医生就在其中,若从报名的5人中随机安排2人,求同时安排王医生和李医生的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=
的图象交于点A(a,﹣2),B两点.
(1)反比例函数的表达式 ,点B的坐标为 .
(2)不等式x﹣
>0的解集为 .
(3)P是第一象限内反比例函数的图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
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【题目】央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注,我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行统计,绘制了下面两副尚不完整的统计图,请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”
(1)被调查的总人数是________人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中D类有______人;
(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=2,把它放在x轴的正半轴上,AD与x轴重合且点A坐标为(3,0).
(1)若以点A为旋转中心,将矩形ABCD逆时针旋转,使点B落到y轴上的点B1处,得到矩形AB1C1D1,如图2,求点B1,C1,D1的坐标.
(2)若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2,如图3,再将它以A2为旋转中心逆时针旋转,使点B2落到y轴上的点B3处.此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3,求平移的距离并写出C3的坐标.
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【题目】八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况,在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查,统计同学们一个月阅读课外书的数量,并绘制了如下的统计图1和图2,请根据图中相关信息,解决下列问题:
(Ⅰ)图1中的值为____________,共有____________名同学参与问卷调查;
(Ⅱ)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)全校共有学生1500人,根据样本数据,估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少?
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【题目】某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量的取值范围是全体实数,
与
的几组对应值列表如下:
其中, .
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.
(4)直线经过
,若关于
的方程
有
个不相等的实数根,则
的取值范围为 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.动点P在线段AC上以5 cm/s的速度从点A运动到点C.过点P作PD⊥AB于点D,以PD为一边向右作矩形PDEF,并且使DE=AD.设点P的运动时间为t s,矩形PDEF和△ABC重叠部分图形周长为y cm.
(1)当点F落在边BC上时,求t的值;
(2)求y与t之间的函数关系式;
(3)当矩形PDEF的面积被线段BC平分时,t=______.
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