[题目]如图.半径为2的圆O与含30°角的直角三角板ABC的AB边切于点A.将直角三角板沿BA边所在的直线向右平移.当平移到AC与圆O相切时.该直角三角板的平移距离为( )A. B. C. 1D. 2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，半径为2的圆O与含30°角的直角三角板ABC的AB边切于点A，将直角三角板沿BA边所在的直线向右平移，当平移到AC与圆O相切时，该直角三角板的平移距离为（）

A. B. C. 1D. 2

【答案】B

【解析】

作出平移后的图形，根据切线的性质证得△OAD是等边三角形，再根据切线长定理得A’D=A A’，然后利用三角函数求出A’D,即可求出平移的距离.

解：如图，三角板ABC平移后的AC的对应边为A’C’,与⊙O切于点D.

易知OA⊥AB,OD⊥A’C’,AC∥A’C’,△OAD是等边三角形.

∴AD=OA=2, A’D=A A’,

∵∠DAE=∠OAB-∠CAB=90°-60°=30°

∴DE=AD=1

∴A’D==

∴A A’=即平移的距离为.

故选：B

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【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

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【题目】问题提出：

（1）如图①，已知线段AB和BC，AB＝2，BC＝5，则线段AC的最小值为　　；

问题探究

（2）如图②，已知扇形COD中，∠COD＝90°，DO＝CO＝6，点A是OC的中点，延长OC到点F，使CF＝OC，点P是上的动点，点B是OD上的一点，BD＝1．

（i）求证：△OAP～△OPF；

（ii）求BP+2AP的最小值；

问题解决：

（3）如图③，有一个形状为四边形ABCD的人工湖，BC＝9千米，CD＝4千米，∠BCD＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P，且BP＝3千米，为方便游客观光，从C、D分别建小桥PD，PC．已知建桥PD每千米的造价是3万元，建桥PC每千米的造价是1万元，建桥PD和PC的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P的位置并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．（桥的宽度忽略不计）