Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.

(1)求证:四边形ABEF是矩形；

(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) OF =.

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，AB∥CD.

∵DF=CE，

∴DF+DE=CE+ED，

即:FE=CD.

∵点F、E在直线CD上

∴AB=FE，AB∥FE.

∴四边形ABEF是平行四边形

又∵BE⊥CD，垂足是E，

∴∠BEF=90°.

∴四边形ABEF是矩形.

(2)解:∵四边形ABEF是矩形O，

∴∠AFC=90°，AB=FE.

∵AB=6，DE=2，

∴FD=4.

∵FD=CE，

∴CE=4.

∴FC=10.

在Rt△AFD中，∠AFD=90°.

∵∠ADF=45°，

∴AF=FD=4.

在Rt△AFC中，∠AFC=90°.

∴.

∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，

∴O为AC中点

在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.

∴OF=AC=.