Question

7．问题提出；怎样计算1×2+2×3+3×4+…+（n-1）×n呢？
（1）材料学习；计算1+2+3…+n
因为1=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1）；2=$\frac{1}{2}$（2×3-1×2）；3=$\frac{1}{2}$（3×4-2×3）
…，n=$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]
所以1+2+3+…+n
=$\frac{1}{2}$（1×2-0×1）+$\frac{1}{2}$（2×3-1×2）+$\frac{1}{2}$（3×4-2×3）+…+$\frac{1}{2}$[n（n+1）-（n-1）n]
=$\frac{1}{2}$[1×2-0×1+2×3-1×2+3×4-2×3+…+n（n+1）-（n-1）n]=$\frac{1}{2}$n（n+1）
（2）探究应用
观察规律：①1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×12）；②2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）；
③3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）；…
猜想归纳：
根据（2）中观察的规律直接写出：4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5）
（n-1）×n=$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
问题解决：
1×2+2×3+3×4+4×5…+（n-1）×n
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]=$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）
（3）拓展延伸
根据（1）、（2）中的规律，请直接写出1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-2）（n-1）n=$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．

Answer 1

分析 （2）根据给出的运算方法类比计算得出答案即可；
（3）（1）、（2）中的规律，拆成4个连续自然数的乘积得出答案即可．

解答 解：（2）4×5=$\frac{1}{3}$（4×5×6-3×4×5）； 
1×2+2×3+3×4+4×5…+（n-1）×n
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）；
（3）问题解决：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+（n-2）（n-1）n
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$[（n-2）（n-1）n（n+1）-（n-3）（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{4}$[1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+3×4×5×6-2×3×4×5+…+（n-2）（n-1）n（n+1）-（n-3）（n-2）（n-1）n]
=$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．
故答案为：4×5×6-3×4×5，（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n；（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n，=$\frac{1}{3}$[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+（n-1）n（n+1）-（n-2）（n-1）n]，$\frac{1}{3}$（n-1）n（n+1）；$\frac{1}{4}$（n-2）（n-1）n（n+1）．

点评 此题考查了有理数的混合运算，利用类比的思想与方法，得出运算的规律解决问题．