Question

【题目】如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，CG=4，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

(1)连接OC，先证得，根据垂径定理得到OC⊥BD，根据CE//BD推出OC⊥CE，即可得到结论．

(2)根据圆周角定理得出∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可证得∠BCF=∠CBD，根据同角对等边即可证得结论．

(3)连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根据圆周角定理得出∠DAC=∠BAC=30°，解直角三角形求得，然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

（1）连接OC

∵∠A=∠CBD

∴

∴OC⊥BD

∵CE//BD

∴OC⊥CE

∴CE是⊙O的切线

（2）∵AB为直径

∴∠ACB=90°

∵CF⊥AB

∴∠ACB=∠CFB=90°

∵∠ABC=∠CBF

∴∠A=∠BCF

∵∠A=∠CBD

∴∠BCF=∠CBD

∴CG=BG

（3）连接AD，

∵AB为直径

∴∠ADB=90°

∵∠DBA=30°

∴∠BAD=60°

∵

∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=30°

∴

∵CE//BD，

∴∠E=∠DBA=30°

∴AC=CE，

∴

∵∠BAC =∠BCF=∠CBD=30°

∴∠BCE=30°

∴BE=BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴

∵CG=4，

∴BC=

∴BE=

故答案为：