Question

【题目】已知：是的内接三角形，点为的中点，弦分别交，于点，，且．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作，交的延长线于点，与的另一个交点为点，连接交于点，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接，，，根据得出，再根据点为弧AB的中点，得到，再说明，通过等量代换可得结果；

（2）连接，令，则，可得，根据弧弧得出，再通过等量代换得到即可；

（3）连接分别交，于点，，根据得出，令，得出，证明和，得出和，根据列出方程，解出t值，在利用勾股定理求出AE即可.

解：（1）证明：如图1，连接，，，

∵

∴

∵弧弧

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴弧弧

（2）如图，连接

令，则

∵

∴

∵弧弧

∴

∴

∴

∴

∴；

（3）如图3，连接分别交，于点，．

∵，

∴

在中，

在中，

∴

∴

令，则

∵，

∴

∴

∵

∴

∵，，

∴

∴

∴

同理

∴

在中，，

在中，，

∵

∴

解得

在中，