Question

【题目】如图所示，在△ABC中，已知∠DBC＝60°，AC＞BC，又△ABC＇、△BCA＇、△CAB＇都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC＝DC

(1)证明:△C＇BD≌△B＇DC

(2)证明:△AC＇D≌△DB＇A

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）先根据SAS证明△C′BD≌△ABC，得到C′D=AC= B′C，再利用SAS证明△BCA≌△DCB′，得到DB′=BA= BC′，最后根据SSS即可证明△C′BD≌△B′DC；

（2）由（1）可知，C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，根据SSS即可证明△AC′D≌△DB′A.

证明：（1）∵∠DBC＝60°，BC＝DC，

∴△BCD为等边三角形，

∴BD=BC=CD，∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，

∵△ABC′为等边三角形，

∴BC′=AB=AC′，∠AB C′=60°，

∴∠DBC=∠ABC′，

∴∠DBC+∠ABD=∠ABC′+∠ABD，即∠ABC =∠C′BD，

在△ABC与△C′BD中，，

∴△ABC≌△C′BD (SAS)，

∴C′D=AC，

∵△AB′C为等边三角形，

∴AC= B′C=AB′，∠ACB′=∠AB′C=∠B′AC=60°，

∴C′D= B′C，

在△BCA与△DCB′中，，

∴△BCA≌△DCB′(SAS)，

∴DB′=BA= BC′，

在△B′DC与△C′BD中，，

∴△C′BD≌△B′DC（SSS）；

（2）由（1）知：C′D=B′C=AB′，B′D=BC′=AC′，

又∵AD=AD，

∴在△AC′D与△DB′A中，，

∴△AC′D≌△DB′A(SSS).