Question

已知：关于x的一元二次方程（m-1）x²-2mx+m+1=0 （m＞1）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；
（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵△=（-2m）²-4（m+1）（m-1）=4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵△=（-2m）²-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0，
∴x₁=

2m+2

2(m-1)

=

m+1

m-1

=1+

2

m-1

，x₂=

2m-2

2(m-1)

=1，
∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1，
∴

2

m-1

是正整数，
∴m=2或m=3．

点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．