Question

12．如图，以扇形OAB的顶点为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（4，0）．若抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+k，与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是-4＜k＜1．

Answer 1

分析 根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．

解答 解：由图可知，∠AOB=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+k}\end{array}\right.$消掉y得，
x²-4x+4k=0，
△=b²-4ac=（-4）²-4×1×4k=0，
即k=1时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为2，
∵点B的坐标为（4，0），
∴OA=4，
∴点A的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（4，0）时，$\frac{1}{4}$×4²+k=0，
解得k=-4，
∴若抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+k，与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是-4＜k＜1．
故答案为：-4＜k＜1．

点评 本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．