Question

【题目】（题文）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与坐标轴分别交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B，D两点，且对称轴为x=2，设x轴上一动点P（n，0），过点P分别作直线BD，AB的垂线，垂足分别为M，N．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）设四边形ABCD的面积为S四边形ABCD，当n为何值时，=；

（3）是否存在点P（n，0），使得△PMN为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+2，（2，4）；（2）当n=﹣2或n=6时，=；（3）存在P（﹣2，0）

【解析】

（1）根据对称轴公式以及点坐标，构建方程组即可解决问题；

（2）分两种情形分别构建方程即可解决问题；

（3）分三种情形：①，②，③，分别求解解决问题.

（1）当x=0时，直线y=﹣x+2=2，即B（0，2）

当y=0时，﹣x+2=0，解得x=2，即A（2，0），

将B点坐标代入函数解析式，对称轴，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2，

当x=2时，y=﹣×22+2×2+2=4，

顶点坐标（2，4）；

（2）如图1，过N作NH⊥x轴于H，

∵BD∥x轴，抛物线的对称轴x=2，连接AC，则AC⊥BD，

∴S四边形ABCD=×4×4=8，

∵=，

∴S△PMN=2，又∵N在直线y=﹣x+2上，

∴∠NPH=45°，且S△PMN=PHPM，

∵BD∥x轴，

∴PM=2，当点P在A点右侧时，2+PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2解得n=6；

当点P在A点左侧时，2﹣PH=n，即PH=，

∴S△PMN=PHPM=××2=2，解得n=﹣2，

综上所述，当n=﹣2或n=6时， =；

（3）存在．①如图 2，当PM=PN时，

∵PN=PM=2，PH=，n=2，

∴p（2+2，0）或P（2﹣2，0）；

②如图3，当MN=PN时，

∵MN⊥PN，

∴△PMN是等腰直角三角形，且PM=2，

∴PN=，

∴P（0，0）；

③当PM=MN时，

∵MN=PM=2，MN⊥PM，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴MB=2，∴P（﹣2，0）．