Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径画⊙O，交斜边AB于点E，点D为AC中点，连接OD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AC=6，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，则△ADE的周长是$\frac{48}{5}$，其面积是$\frac{54}{5}$．

Answer 1

分析 （1）证明△OCD≌△OED得到∠OCD=∠OED=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）解：连结CE，如图，先利用正切定义计算出BC，再利用勾股定理计算出AB，接着利用面积法计算出CE，然后求△ADE的周长和面积．

解答 （1）证明：∵点D为AC中点，点O为BC的中点，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠2=∠3，∠1=∠B，
而OB=OE，
∴∠3=∠B，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OED中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OE}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OED，
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连结CE，如图，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=$\frac{4}{3}$×6=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵DE为Rt△ACE的斜边上的中线，
∴DE=AD=CD=3，
∴△ADE的周长=3+3+$\frac{18}{5}$=$\frac{48}{5}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{54}{5}$．
故答案为$\frac{48}{5}$，$\frac{54}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（1）小题的关键是证明△OCD≌△OED．