如图.二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.与y轴交于点C．若点P.Q同时从A点出发.都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB.AC边运动.其中一点到达端点时.另一点也随之停止运动． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标, (2)当点P运动到B点时.点Q停止运动.这时.在x轴上是否存在点E.使得以A.E.Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在.请求出E点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

(4)在AC 段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大,请直接写出点R的坐标.

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴y=x²﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

（2）存在．

如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，

设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）²+（）²=x²，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③当AE=AQ=4时，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）．

（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：

如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四边形AQDP为菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴AF=，FQ=，

∴Q（3﹣，﹣），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣﹣t，﹣），

∵D在二次函数y=x²﹣x﹣4上，

∴﹣=（3﹣t）²﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（与A重合，舍去），

∴D（﹣，﹣）．

(4)R().

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

下列几组数据中，能作为直角三角形三边长的是…………………………【】

A、2，3，4， B、1,2,3 C、1，, D、7,24,25

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

清明节扫墓是中华民族的传统习俗，为适应需求，某商店决定销售甲厂家的高、中、低档三个品种盆花和乙厂家的精装、简装两个品种盆花．现需要在甲乙两个厂家中各选一个品种．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表法求选购方案）
（2）若（1）中各选购方案被选中的可能性相同，则甲厂家高档盆花被选中的概率是多少？
（3）某中学组织学生到烈士陵园扫墓，欲购买两个品种共32盆花（价格如下表），其中指定一个品种是甲厂家的高档盆花，再从乙厂家挑选一个品种，若恰好用1000元．请问购买了甲厂家几盆高档盆花？