Question

【题目】结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.

解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.

根据切线长定理，得，，.

根据勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?

请你帮她完成下面的探索.

已知：的内切圆与相切于点，，.

可以一般化吗？

（1）若，求证：的面积等于.

倒过来思考呢？

（2）若，求证.改变一下条件……

（3）若，用、表示的面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3）.

【解析】（1）设的内切圆分别与、相切于点、，的长为,仿照例题利用勾股定理得再根据即可得到=mn.

（2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得.

（3）过点作，垂足为,在中，，.所以, 在中根据勾股定理得,由此.

设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.

根据切线长定理，得，，.

（1）如图①，在中，根据勾股定理，得.

整理，得.

所以

.

（2）由，得.

整理，得.

所以

.

根据勾股定理的逆定理，得.

（3）如图②，过点作，垂足为.

在中，，.

所以.

在中，根据勾股定理，得

.

整理，得.

所以

.