【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象与直线y=x交于点M,∠AMB=90°,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形OAMB的面积为6.
(1)求k的值;
(2)点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,若点P的横坐标为3,∠EPF=90°,其两边分别与x轴的正半轴,直线y=x交于点E,F,问是否存在点E,使得PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)6;(2)E(4,0)或E(6,0).
【解析】
试题(1)过点M作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D,根据AAS证明△AMC≌△BMD,那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6,根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6;
(2)先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为(3,2).再分两种情况进行讨论:①如图2,过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥PG于点H,交y轴于点K.根据AAS证明△PGE≌△FHP,进而求出E点坐标;②如图3,同理求出E点坐标.
试题解析:解:(1)如图1,过点M作MC⊥x轴于点C,MD⊥y轴于点D,则∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD,∴△AMC≌△BMD,∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6,∴k=6;
(2)存在点E,使得PE=PF.
由题意,得点P的坐标为(3,2).
①如图2,过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥PG于点H,交y轴于点K.
∵∠PGE=∠FHP=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF,∴△PGE≌△FHP,∴PG=FH=2,FK=OK=3﹣2=1,GE=HP=2﹣1=1,∴OE=OG+GE=3+1=4,∴E(4,0);
②如图3,过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥PG于点H,交y轴于点K.
∵∠PGE=∠FHP=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF,∴△PGE≌△FHP,∴PG=FH=2,FK=OK=3+2=5,GE=HP=5﹣2=3,∴OE=OG+GE=3+3=6,∴E(6,0).
综上所述,E(4,0)或E(6,0).
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【题目】对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点(1,-3)
B. 图象分布在第二、四象限
C. 当x>0时,y随x的增大而增大
D. 点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-的图象上,若x1<x2,则y1<y2
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(﹣1,2),(2,1),若抛物线y=ax2﹣x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是( )
A. a≤﹣1或≤a<
B.
≤a<
C. a≤或a>
D. a≤﹣1或a≥
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【题目】如图,在等腰中,
,D为BC的中点,过点C作
于点G,过点B作
于点B,交CG的延长线于点F,连接DF交AB于点E.
(1)求证:;
(2)求证:AB垂直平分DF;
(3)连接AF,试判断的形状,并说明理由.
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【题目】已知y是x的一次函数,当时,
;当
时,
,求:
(1)这个一次函数的表达式和自变量x的取值范围
(2)当时,自变量x的值
(3)当时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图在△ABC 中,AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O,分别交 BC 边于点 M、N,连接 AM,AN.
(1)若△AMN 的周长为 6,求 BC 的长;
(2)若∠MON=30°,求∠MAN 的度数;
(3)若∠MON=45°,BM=3,BC=12,求 MN 的长度.
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