Question

【题目】矩形ABCD中，BC=3，AB=8，E、F为AB、CD边上的中点，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面上滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，求点F的坐标及FA的长度；
（2）当t=4时，求OE的长及∠BAO的大小；
（3）求从t=0到t=4这一时段点E运动路线的长；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=0时，

∵AB=CD=8，F为CD中点，

∴DF=4，

∴F（3，4），

∴AF=5

（2）解：当t=4时，OA=4，

在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，点E是AB的中点，

∴∠ABO=30°，OE=4，

∴∠BAO=60°

（3）解：从t=0到t=4这一时段，点E运动路线是以O为圆心，OE为半径圆心角是30°的一段弧，

（其中OE=OE1=4，∠E1OE=90°﹣60°=30°，）

∴点E运动路线的长为 = π；

（4）解：在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，

∴AF= =5，

①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，

∴FA⊥OA，

∴∠OAB+∠FAB=90°，

∵∠FAD+∠FAB=90°，

∴∠BAO=∠FAD，

∵∠BOA=∠D=90°，

∴Rt△FAE∽Rt△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴t1= ，

②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2= ，

综上所述，当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为 或 ．

【解析】（1）F为CD边上的中点，求出DF得长，进而得出点F的坐标即可得出AF。
（2）利用直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△AOE是等边三角形，即可得出结论。
（3）先判断出点E运动的路线是一条弧，利用弧长公式即可得出结论；
（4）分两种情况：①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点；②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．

【考点精析】解答此题的关键在于理解直角三角形斜边上的中线的相关知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．