Question

【题目】如图，在四边形中，、为对角线，点、、、分别为、、、边的中点，下列说法：

①当时，、、、四点共圆．

②当时，、、、四点共圆．

③当且时，、、、四点共圆．

其中正确的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．

解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．

∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，

∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC．

∴四边形ENFM是平行四边形．

①当AC=BD时，

则有EM=EN，

所以平行四边形ENFM是菱形．

而菱形的四个顶点不一定共圆，

故①不一定正确．

②当AC⊥BD时，

由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．

所以平行四边形ENFM是矩形．

则有OE=ON=OF=OM．

所以M、E、N、F四点共圆，

故②正确．

③当AC=BD且AC⊥BD时，

同理可得：四边形ENFM是正方形．

则有OE=ON=OF=OM

所以M、E、N、F四点共圆，

故③正确．

故选：C．