Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C， A、B两点横坐标为-1和3，C点纵坐标为-4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，-5），最大值；（3）（1，）.

【解析】

（1）将A，B，C三点坐标代入抛物线，即可求出；

（2）作DH垂直AB于H，设D点坐标为（x，y），则有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由 ，，化简即可出；

（3）由函数关系式：化简得对称轴为，作出对称轴，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点，求出BC的函数解析式，则可以知道E点坐标为：（1，），所以存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，设Q点坐标为：（1，），求出线段 的斜率，线段 的斜率 ，利用两直线相交交角为，得到，化简即可。

解：（1）由图像可知：A，B，C，三点的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，-4），

将A，B，C三点坐标代入抛物线

得： ，解之得：

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图，作DH垂直AB于H，设D点坐标为（x，y），

则有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x，

∴梯形CDHO为直角梯形，

∴

即：

又∵D点在抛物线上，

∴

∴当时，△BCD面积有最大值，是，

∴

所以D点坐标为：（，-5）；

（3）由函数关系式：化简得：，

∴对称轴为：，

如图示：作出对称轴，交x轴于F点，连接CB，交对称轴于E点，

∴由B，C，的坐标分别是（3，0），（0，-4），设BC的函数解析式为：

则： ，解之得：

∴BC的函数解析式为：，当时，，

∴E点坐标为：（1，），

∴BF=2，FE=，

∴ ，

即：

∴存在一点Q，使得∠QBC=45°，并且点Q在FE之间，

设Q点坐标为：（1，）

∴， ，

∵直线BQ和BC的交角为，

∴

即：

化简得： ，

∴Q点坐标为：（1，）