【题目】已知抛物线y=ax2经过点A(2,1).
(1) 求a的值;
(2) 如图1,点M为x轴负半轴上一点,线段AM交抛物线于N.若△OMN为等腰三角形,求点N的坐标;
(3) 如图2,直线y=kx-2k+3交抛物线于B、C两点,过点C作CP⊥x轴,交直线AB于点P,请说明点P一定在某条确定的直线上运动,求出这条直线的解析式.
【答案】(1);(2)N(﹣1,);(3)y=x﹣3.
【解析】
(1)A(2,1)代入抛物线方程,解方程即可得到a的值;
(2)设点M(m,0),求出AM所在直线的表达式,MN=ON时,过点N作NH⊥OM,求出OH,HN的长,得出N的坐标,把N点坐标代入抛物线表达式求解即可得出结论;
(3)设:点C(x1,y1),B(x2,y2),P(x1,y),则:x2=kx﹣2k+3,由根与系数的关系得:x1+x2=4k,x1x2=8k﹣12,…①,y2②,把A、B坐标代入直线方程,解得AB所在的直线方程,把点P(x1,y)、①、②代入方程,整理即可得到结论.
(1)A(2,1)代入抛物线方程,解得:a;
(2)设点M(m,0),把点A、M坐标代入直线表达式得:
AM所在直线的表达式为:yx.
从图象位置关系看,△OMN为等腰三角形时,只有MN=ON这一种情况,过点N作NH⊥OM,则OH=MH,HN=MHtan∠AMH,则N(,),把N点坐标代入抛物线表达式解得:m=﹣2,m=4(舍去);则N(-1,).
经验证:MN=OM,OM=ON无解.故:N(﹣1,);
(3)设:点C(x1,y1),B(x2,y2),P(x1,y),则:x2=kx﹣2k+3,则:x1+x2=4k,x1x2=8k﹣12,…①,y2②,把A、B坐标代入直线方程,解得:
AB所在的直线方程为:y,把点P(x1,y)、①、②代入上式,整理得:y=x1﹣3,这条直线的解析式为:y=x﹣3.
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【题目】已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
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【题目】已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )cm.
A.14或2B.14C.2D.6
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点.且满足AD=AB,∠ADE=∠C.
(1)求证:AB2=AEAC;
(2)若D为BC中点,AE=4,EC=6,且tanB=3,求△ABC的面积.
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【题目】已知:如图,AB为的直径,点C是半圆上一点,CE⊥AB于E,BF∥OC,连接BC,CF.
(1)求证:∠OCF=∠ECB;
(2)当AB=10,BC=,求CF的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点A(2,3)与点B(0,5)。
(1)求此一次函数的解析式。
(2)若P点为此一次函数图象上一点,且△POB的面积为10.求点P坐标。
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限角平分线上的一点,且P点的横坐标为3.把一块三角板的直角顶点固定在点P处,将此三角板绕点P旋转,在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F,若△POE为等腰三角形,则点F的坐标为_____.
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【题目】已知如图,在⊙O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,
连接AD,BC,BD.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)若∠DBE=35°,求∠ADC的度数.
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