Question

1．在△BCD中，点E在BC上，点F在DC的延长线上，且CE=CF，BC=DF，
（1）如图1，当∠BCD=90°，G点为EF的中点时，连DG、BG，求证：BG⊥DG；
（2）如图2，当∠BCD=60°，FG∥CE，且FG=CE时，连接DG．求∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）连接CG，根据等腰直角三角形的相关性质，结合邻补角可证∠BEG=∠DCG，进一步论证△BGE≌△DCG即可求解；
（2）连接CG，EG，BG，根据已知可证四边形GFCE是菱形，求出∠CGE=60°，∠ECG=60°，∠GCF=60°结合（1）中思路证明三角形全等即可求解．

解答 解：（1）如图1

连接CG，
由∠BCD=90°，G点为EF的中点，CE=CF易证：CG⊥EF，CG=GE，∠CEG=45°，∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
∵CE=CF，BC=DF，
∴BE=CD，
在△BGE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=GE}\\{∠BEG=∠DCG}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△DCG，
∴∠DGC=∠BGE，
∴∠BGD=∠CGE=90°，
∴BG⊥DG．
（2）如图2

连接CG，EG，BG，
∵FG∥CE，且FG=CE，
∴四边形GFCE是平行四边形，
∵CF=CE，
∴平行四边形GFCE是菱形，
∴CE=EG，
由∠BCD=60°，可证三角形CGE为等边三角形，
∴∠CGE=60°，∠ECG=60°，∠GCF=60°，
∴∠BEG=∠DCG=120°，
在在△BGE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=GE}\\{∠BEG=∠DCG}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△DCG，
∴∠DGC=∠BGE，BG=GD，
∴∠BGD=∠CGE=60°，
∴三角形BGD为等边三角形，
∴∠BDG=60°．

点评 此题主要考查三角形和四边形的综合运用，熟悉三角形全等的证明，菱形的判定方法和性质的灵活运用；会推理等边三角形并适当运用是解题的关键．