Question

6．若A（0，a）、B（b，0），且a、b满足4a²-2ab+b²-12a+12=0．
（1）求A、B的坐标．
（2）如图1，点D在线段AO上运动（不与点A、O重合），以BD为腰向下作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，连接AE交BO于M，求$\frac{AD}{OM}$的值．
（3）如图2，点D在y轴上运动，以BD为腰向下作等腰直角△BDE，∠DBE=90°，K为DE中点，T为OB中点，当线段KT最短时，求此时D点坐标．

Answer 1

分析 （1）先配方，然后利用非负数的性质即可解决．
（2）如图1中，作EG⊥OB于G，先证明△DBO≌△BEG，得DO=BG，BO=EG，推出AD=OG，再证明△AOM≌△EGM得OM=MG，由此可以解决问题．
（3）如图3中，过点B作x轴的垂线交DT于H，连接EH，先证明△DOT≌△HBT得DO=BH=BM，DT=TH，再证明△DBM≌△EBH，DM=EH，结合条件推出TK=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$DM，欲求TK的最小值，只要求出DM的最小值，设OP=x，则OM=2-x，DM=$\sqrt{{x}^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$，根据二次函数的性质即可解决问题．

解答 （1）解：∵4a²-2ab+b²-12a+12=0，
∴（a-b）²+3（a-2）²=0，
∵（a-b）²≥0，3（a-2）²≥0，
∴a=b=2，
∴点A坐标（0，2），点B坐标（2，0）．
（2）解：如图1中，作EG⊥OB于G，
∵△BDE为等腰直角三角形，∠DBE=90°，
∴BD=BE，∠DBO+∠OBE=90°，
∵EG⊥BO，
∴∠OBE+∠BEG=90°，
∴∠DBO=∠BEG，
在△DBO和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOB=∠EGM}\\{∠OBD=∠BEG}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△DBO≌△BEG，
∴DO=BG，BO=EG，
∵AO=BO，
∴AO=EG，AD=OG，
在△AOM和△EGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠EGM}\\{∠AMO=∠EMG}\\{AO=EG}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△EGM，
∴OM=MG，
∴$\frac{OM}{AD}$=2．
（3）解：如图3中，过点B作x轴的垂线交DT于H，连接EH，
在△DOT和△HBT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOT=∠HBT}\\{∠DTO=∠HTB}\\{OT=TB}\end{array}\right.$，
∴△DOT≌△HBT，
∴DO=BH=BM，DT=TH，
∵∠DBE=∠OBH，
∴∠DBM=∠EBH，
在△DBM和△EBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=EB}\\{∠DBM=∠EBH}\\{BM=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△EBH，
∴DM=EH，
∵DK=KE，DT=TH，
∴TK=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$DM，
∵DO+OM=2，设OP=x，则OM=2-x，DM=$\sqrt{{x}^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{2（x-1）^{2}+2}$，
∴x=1时，DM最小即TK最小，此时点D坐标（0，1）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，综合性比较强，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会转化的思想，最小值问题想到用二次函数解决，属于中考压轴题．