Question

13．如图，在平面直角坐标系中，已知点M₁（-1，0），将线段OM₁绕点O按顺时针方向旋转60°，再将其长度伸长为OM₁的2倍，得到线段OM₂；又将线段OM₂绕点O按顺时针方向旋转60°，长度伸长为OM₂的2倍，得到线段OM₃；如此下去，得到线段OM₄，OM₅…OM_n（n为正整数），则点M₂₃₄的坐标为（-2²³²，-2²³²•$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 利用周角为360°可判断每旋转6次一个循环，由于234为6的整数倍，于是可判断点M₂₃₄落在第三象限，加上从线段OM₁开始，每次旋转一次线段的长伸长为原来的2倍得到OM₂₃₄=2²³³，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可确定点M₂₃₄的坐标．

解答 解：∵每次旋转的角度为60°，360°÷60°=6，
∴每旋转6次一个循环，
而234=6×39，
∴点M₂₃₄落在第三象限，
∵从线段OM₁开始，每次旋转一次线段的长伸长为原来的2倍，
∴OM₂₃₄=2²³³，
∴点M₂₃₄的坐标为（-2²³³，0）．
故答案为（-2²³²，-2²³²•$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°．解决本题的关键是确定OM₂₃₄的长度和点M₂₃₄所在的象限．